المقام؟
المقام هو الرقم السفلي في الكسر. يوضح إلى كم جزء متساوٍ يُقسَّم الكل. في 3/4، المقام 4 يعني أن الكل يُقسَّم إلى 4 أجزاء متساوية، والبسط 3 يَعُد كم جزءًا منها يؤخذ.
المقام المشترك الأصغر (م.م.أ) هو أصغر عدد يصلح كمقام مشترك لمجموعة من الكسور. أدخل كسورك واحصل على المقام المشترك الأصغر والكسور المكافئة وتحليل العوامل الأولية الكامل فورًا.
أضف حتى 5 كسور. بدّل إلى الأعداد الكسرية المختلطة للأجزاء الصحيحة.
يُبنى المقام المشترك الأصغر من العوامل الأولية المشتركة والفريدة بين المقامات — كل منها بأعلى قوة له.
المقام المشترك الأصغر (م.م.أ) هو أصغر عدد يصلح كمقام مشترك لمجموعة من الكسور. وهو يساوي المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامات، ويُسمى أيضًا أدنى مقام مشترك.
المقام هو الرقم السفلي في الكسر. يوضح إلى كم جزء متساوٍ يُقسَّم الكل. في 3/4، المقام 4 يعني أن الكل يُقسَّم إلى 4 أجزاء متساوية، والبسط 3 يَعُد كم جزءًا منها يؤخذ.
يتشارك كسران أو أكثر مقامًا مشتركًا عندما تتطابق أرقامهما السفلية. 2/5 و 1/5 يتشاركان المقام 5، لذا تُجمع البسوط مباشرة: 2/5 + 1/5 = 3/5. الكسور ذات المقامات المختلفة، مثل 1/3 و 1/6، تحتاج إلى مقام مشترك قبل أن يمكن جمعها.
المقام المشترك الأصغر هو أصغر جميع المقامات المشتركة الممكنة لمجموعة من الكسور. ضرب المقامات معًا يُنتج دائمًا مقامًا مشتركًا، لكن ليس دائمًا الأصغر. يحافظ المقام المشترك الأصغر على الأرقام الناتجة أصغر ما يمكن، ولهذا يُسمى أيضًا أدنى مقام مشترك.
تحتاج الكسور إلى مقامات متطابقة قبل أن يمكن جمعها أو طرحها أو مقارنتها. يُنشئ المقام المشترك الأصغر هذا التطابق بأصغر مقام ممكن، مما يُبقي الأرقام صغيرة والنتيجة أسهل في التبسيط.
ضرب المقامات معًا يعمل دائمًا، لكنه يُنتج رقمًا أكبر من اللازم. لـ 1/3 و 1/6، ضرب المقامات يعطي 18. المقام المشترك الأصغر لـ 3 و 6 هو 6 فقط. كلا المسارين يصل إلى مجموع صحيح وكلاهما يُبسَّط إلى نفس الإجابة، لكن نسخة المقام المشترك الأصغر تفعل ذلك بأجزاء أقل وأصغر.
9/18 و 3/6 كلاهما يُبسَّط إلى 1/2 — المقام المشترك الأصغر يصل إليه بخطوة أقل.
ثلاث طرق تجد المقام المشترك الأصغر: طريقة قائمة المضاعفات، وتحليل العوامل الأولية، وطريقة القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ). كل منها يُنتج نفس النتيجة عبر خطوات مختلفة.
| الطريقة | الأفضل استخدامها عندما | الخطوات المطلوبة |
|---|---|---|
| قائمة المضاعفات | المقامات صغيرة، أقل من حوالي 20 | اكتب مضاعفات كل مقام وابحث عن أول تطابق |
| تحليل العوامل الأولية | أي حجم مقام، أو ثلاثة كسور أو أكثر في آنٍ واحد | حلّل كل مقام إلى أعداد أولية، خذ أعلى قوة لكل منها، اضرب |
| طريقة ق.م.أ | مقامان يسهل تمييز قاسمهما المشترك الأكبر | اضرب المقامين، ثم قسّم على قاسمهما المشترك الأكبر |
اكتب مضاعفات كل مقام حتى يظهر نفس الرقم في القائمتين. هذا التطابق الأول هو المقام المشترك الأصغر. لـ 1/3 و 2/7:
حلّل كل مقام إلى عوامل أولية، خذ أعلى قوة لكل عدد أولي يظهر، ثم اضرب تلك القوى. لـ 3/4 و 4/5 و 2/3:
لـ 3/8 و 5/12:
استخدم هذه العملية ذات الخطوات الأربع عندما لا تكون كل المدخلات كسورًا بسيطة.
ثمانية أمثلة محلولة بالكامل تغطي كسرين، وثلاثة كسور، وأزواج كسور مأخوذة من استعلامات بحث حقيقية.
رؤية الكسور كأشرطة متساوية الحجم أو كنقاط على خط الأعداد توضح لماذا يلزم مقام مشترك قبل أن يمكن دمج كسرين.
شريطان متساوي الطول مقسّمان إلى أثلاث وأرباع لا يمكن دمجهما مباشرة، لأن أحدهما له 3 أجزاء والآخر 4. تقسيم كلا الشريطين إلى 12 جزءًا متساويًا يحوّل 1/3 إلى 4/12 و 1/4 إلى 3/12، فيستخدمان الآن نفس حجم الجزء.
رسم مضاعفات 4 و 6 على نفس خط الأعداد يُظهر أين تقع على نفس النقطة. أول تداخل، عند 12، هو المقام المشترك الأصغر.
سرد المضاعفات يصبح بطيئًا عندما تكبر المقامات. لـ 5/16 و 7/24، استخدم صيغة المضاعف المشترك الأصغر مع القاسم المشترك الأكبر بدلًا من قائمة طويلة.
اختصار: إذا كان المقام الأكبر قابلًا للقسمة بالتساوي على الأصغر، فإن المقام المشترك الأصغر يساوي المقام الأكبر. لـ 3 و 6، 6 ÷ 3 = 2 بالضبط، إذًا المقام المشترك الأصغر هو 6.
المضاعف المشترك الأصغر مفهوم في نظرية الأعداد ينطبق على أي أعداد صحيحة. المقام المشترك الأصغر هو المضاعف المشترك الأصغر مطبَّق تحديدًا على مقامات الكسور. كلا الحسابين يُنتجان نفس الرقم، يُستخدم في سياقات مختلفة.
ينطبق على أي أعداد صحيحة. يُستخدم في الجدولة وتخطيطات البلاط ومشاكل الإيقاع التي تحتاج إلى طول دورة مشترك.
ينطبق على مقامات الكسور. يُستخدم لجمع وطرح ومقارنة الكسور التي تبدأ بمقامات مختلفة.
المقام المشترك الأصغر يتعامل مع المضاعفات: هو أصغر رقم ينقسم عليه كلا المقامين. القاسم المشترك الأكبر يتعامل مع العوامل: هو أكبر رقم يقسم كلا المقامين. بينهما علاقة: المقام المشترك الأصغر(a,b) = (a × b) ÷ القاسم المشترك الأكبر(a,b).
المقام المشترك الأصغر هو خطوة الجسر في ثلاث عمليات على الكسور: الجمع والطرح والمقارنة. كل منها يعيد كتابة الكسور فوق المقام المشترك الأصغر أولًا ثم يعمل مع البسوط وحدها.
1/4 + 1/6 ← المقام المشترك الأصغر 12 ← 3/12 + 2/12 = 5/12
3/4 − 1/6 ← المقام المشترك الأصغر 12 ← 9/12 − 2/12 = 7/12
3/4 مقابل 5/6 ← المقام المشترك الأصغر 12 ← 9/12 مقابل 10/12 ← 5/6 أكبر
الكسور الجبرية تستخدم نفس الطريقة. 1/x + 1/y تحتاج إلى مقام مشترك قبل دمج البسوط. عندما لا يشترك x و y في أي عامل، فإن المقام المشترك الأصغر لـ x و y هو xy، مما يعطي 1/x + 1/y = (y + x)/xy. تنطبق نفس القاعدة على التعابير النسبية ذات المقامات متعددة الحدود.
جدول بحث لأزواج المقام المشترك الأصغر الأكثر بحثًا. استخدمه كمرجع سريع. لأي زوج آخر، استخدم الحاسبة في أعلى هذه الصفحة.
| المقام أ | المقام ب | المقام المشترك الأصغر |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 6 |
| 2 | 4 | 4 |
| 2 | 5 | 10 |
| 2 | 6 | 6 |
| 3 | 4 | 12 |
| 3 | 5 | 15 |
| 3 | 6 | 6 |
| 3 | 7 | 21 |
| 3 | 8 | 24 |
| 4 | 5 | 20 |
| المقام أ | المقام ب | المقام المشترك الأصغر |
|---|---|---|
| 4 | 6 | 12 |
| 4 | 8 | 8 |
| 4 | 9 | 36 |
| 5 | 6 | 30 |
| 6 | 8 | 24 |
| 6 | 9 | 18 |
| 6 | 10 | 30 |
| 8 | 12 | 24 |
| 9 | 12 | 36 |
| 4 | 10 | 20 |
يظهر المقام المشترك الأصغر في أربع مواقف شائعة خارج الفصل الدراسي.
تعديل وصفة تتطلب 2/3 كوب من الدقيق و 3/4 كوب من السكر يحتاج إلى مقام مشترك قبل أن يمكن جمع الكميات أو تقسيمها إلى دفعات.
محاذاة صفوف البلاط بعرض مختلف يستخدم المقام المشترك الأصغر لإيجاد النقطة التي يبدأ وينتهي عندها صفان عند نفس الحافة.
ميزان النبرة 12/8 يأتي من المقام المشترك الأصغر لـ 4 و 3، القسمتان الإيقاعيتان الشائعتان المستخدمتان في الإيقاع المتعدد الأفريقي.
موظفان في نوبتين مختلفتين، أحدهما في دورة 3 أيام والآخر في دورة 4 أيام، يعودان إلى نفس يوم الراحة بعد المقام المشترك الأصغر لهاتين الدورتين: 12 يومًا.