Le plus petit dénominateur commun (PPCD) est le plus petit nombre qui sert de dénominateur commun à un ensemble de fractions. Entrez vos fractions et obtenez le PPCD, les fractions équivalentes et la décomposition complète en facteurs premiers instantanément.
Ajoutez jusqu'à 5 fractions. Passez aux Nombres mixtes pour les parties entières.
Le PPCD est construit à partir des facteurs premiers partagés et uniques entre les dénominateurs — chacun pris à sa puissance la plus élevée.
Le plus petit dénominateur commun (PPCD) est le plus petit nombre qui sert de dénominateur commun à un groupe de fractions. Il est égal au plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs, et il est aussi appelé le plus petit dénominateur commun.
Le dénominateur est le nombre inférieur dans une fraction. Il indique en combien de parties égales un tout est divisé. Dans 3/4, le dénominateur 4 signifie que le tout se divise en 4 parties égales, et le numérateur 3 compte combien de ces parties sont prises.
Deux fractions ou plus partagent un dénominateur commun lorsque leurs nombres inférieurs correspondent. 2/5 et 1/5 partagent le dénominateur 5, donc les numérateurs s'additionnent directement : 2/5 + 1/5 = 3/5. Les fractions aux dénominateurs différents, comme 1/3 et 1/6, ont besoin d'un dénominateur commun avant de pouvoir être additionnées.
Le plus petit dénominateur commun est le plus petit de tous les dénominateurs communs possibles pour un ensemble de fractions. Multiplier les dénominateurs ensemble produit toujours un dénominateur commun, mais pas toujours le plus petit. Le PPCD garde les nombres résultants aussi petits que possible, c'est pourquoi on l'appelle aussi le plus petit dénominateur commun.
Les fractions ont besoin de dénominateurs correspondants avant de pouvoir être additionnées, soustraites ou comparées. Le PPCD crée cette correspondance avec le plus petit dénominateur possible, ce qui garde les nombres petits et le résultat plus facile à simplifier.
Multiplier les dénominateurs ensemble fonctionne toujours, mais cela produit un nombre plus grand que nécessaire. Pour 1/3 et 1/6, multiplier les dénominateurs donne 18. Le PPCD de 3 et 6 est seulement 6. Les deux chemins atteignent une somme correcte et les deux se simplifient à la même réponse, mais la version PPCD le fait avec moins de parties et plus petites.
9/18 et 3/6 se simplifient tous deux en 1/2 — le PPCD l'atteint en une étape de moins.
Trois méthodes trouvent le plus petit dénominateur commun : la méthode de la liste des multiples, la décomposition en facteurs premiers et la méthode du plus grand commun diviseur (PGCD). Chacune produit le même résultat par des étapes différentes.
| Méthode | Meilleur usage quand | Étapes nécessaires |
|---|---|---|
| Liste des multiples | Les dénominateurs sont petits, inférieurs à environ 20 | Listez les multiples de chaque dénominateur et trouvez la première correspondance |
| Décomposition en facteurs premiers | Taille de dénominateur quelconque, ou trois fractions ou plus à la fois | Décomposez chaque dénominateur en nombres premiers, prenez la puissance maximale de chacun, multipliez |
| Méthode PGCD | Deux dénominateurs dont le plus grand commun diviseur est facile à repérer | Multipliez les deux dénominateurs, puis divisez par leur PGCD |
Listez les multiples de chaque dénominateur jusqu'à ce que le même nombre apparaisse dans les deux listes. Cette première correspondance est le PPCD. Pour 1/3 et 2/7 :
Décomposez chaque dénominateur en facteurs premiers, prenez la puissance maximale de chaque nombre premier qui apparaît, puis multipliez ces puissances. Pour 3/4, 4/5 et 2/3 :
Pour 3/8 et 5/12 :
Utilisez ce processus en quatre étapes lorsque les entrées ne sont pas toutes des fractions simples.
Huit exemples entièrement résolus couvrent deux fractions, trois fractions et des paires de fractions tirées de recherches réelles.
Voir les fractions comme des bandes de taille égale ou comme des points sur une droite numérique montre pourquoi un dénominateur commun est nécessaire avant que deux fractions ne puissent se combiner.
Deux barres de longueur égale divisées en tiers et quarts ne peuvent pas se combiner directement, car une barre a 3 parties et l'autre 4. Diviser les deux barres en 12 parties égales transforme 1/3 en 4/12 et 1/4 en 3/12, donc les deux utilisent maintenant la même taille de partie.
Tracer les multiples de 4 et 6 sur la même droite numérique montre où ils tombent sur le même point. Le premier chevauchement, à 12, est le PPCD.
Lister les multiples devient lent quand les dénominateurs grandissent. Pour 5/16 et 7/24, utilisez la formule du PPCM avec le PGCD au lieu d'une longue liste.
Raccourci : si le plus grand dénominateur se divise exactement par le plus petit, le PPCD est égal au plus grand dénominateur. Pour 3 et 6, 6 ÷ 3 = 2 exactement, donc le PPCD est 6.
Le PPCM est un concept de théorie des nombres qui s'applique à tout entier. Le PPCD est le PPCM appliqué spécifiquement aux dénominateurs des fractions. Les deux calculs produisent le même nombre, utilisé dans des contextes différents.
S'applique à tout nombre entier. Utilisé dans la planification, les agencements de carreaux et les problèmes de rythme qui nécessitent une longueur de cycle partagée.
S'applique aux dénominateurs de fractions. Utilisé pour additionner, soustraire et comparer des fractions qui commencent avec des dénominateurs différents.
Le PPCD traite des multiples : c'est le plus petit nombre dans lequel les deux dénominateurs se divisent. Le PGCD traite des facteurs : c'est le plus grand nombre qui divise les deux dénominateurs. Ils sont liés : PPCD(a,b) = (a × b) ÷ PGCD(a,b).
Le PPCD est l'étape pont dans trois opérations sur les fractions : l'addition, la soustraction et la comparaison. Chacune réécrit d'abord les fractions sur le PPCD, puis travaille uniquement avec les numérateurs.
1/4 + 1/6 → PPCD 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
3/4 − 1/6 → PPCD 12 → 9/12 − 2/12 = 7/12
3/4 vs 5/6 → PPCD 12 → 9/12 vs 10/12 → 5/6 est plus grand
Les fractions algébriques utilisent la même méthode. 1/x + 1/y a besoin d'un dénominateur commun avant que les numérateurs ne se combinent. Quand x et y ne partagent aucun facteur, le PPCD de x et y est xy, donnant 1/x + 1/y = (y + x)/xy. La même règle s'étend aux expressions rationnelles avec des dénominateurs polynomiaux.
Une table de consultation des paires PPCD les plus recherchées. Utilisez-la comme référence rapide. Pour toute autre paire, utilisez le calculateur en haut de cette page.
| Dénominateur A | Dénominateur B | PPCD |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 6 |
| 2 | 4 | 4 |
| 2 | 5 | 10 |
| 2 | 6 | 6 |
| 3 | 4 | 12 |
| 3 | 5 | 15 |
| 3 | 6 | 6 |
| 3 | 7 | 21 |
| 3 | 8 | 24 |
| 4 | 5 | 20 |
| Dénominateur A | Dénominateur B | PPCD |
|---|---|---|
| 4 | 6 | 12 |
| 4 | 8 | 8 |
| 4 | 9 | 36 |
| 5 | 6 | 30 |
| 6 | 8 | 24 |
| 6 | 9 | 18 |
| 6 | 10 | 30 |
| 8 | 12 | 24 |
| 9 | 12 | 36 |
| 4 | 10 | 20 |
Le PPCD apparaît dans quatre situations courantes en dehors de la salle de classe.
Adapter une recette qui demande 2/3 de tasse de farine et 3/4 de tasse de sucre nécessite un dénominateur commun avant que les quantités puissent être additionnées ou divisées en lots.
Aligner des rangées de carreaux de largeurs différentes utilise le PPCD pour trouver le point où deux rangées commencent et finissent au même bord.
Une signature rythmique 12/8 provient du PPCD de 4 et 3, les deux divisions métriques courantes utilisées dans le polyrythme africain.
Deux employés à rotations différentes, l'un sur un cycle de 3 jours et l'autre sur un cycle de 4 jours, reviennent au même jour de congé après le PPCD de ces cycles : 12 jours.