Der kleinste gemeinsame Nenner (KGN) ist die kleinste Zahl, die als gemeinsamer Nenner für eine Menge von Brüchen dient. Geben Sie Ihre Brüche ein und erhalten Sie sofort den KGN, äquivalente Brüche und die vollständige Primfaktorzerlegung.
Fügen Sie bis zu 5 Brüche hinzu. Wechseln Sie zu Gemischten Zahlen für ganzzahlige Teile.
Der KGN wird aus gemeinsamen und einzigartigen Primfaktoren der Nenner gebildet — jeder in seiner höchsten Potenz.
Der kleinste gemeinsame Nenner (KGN) ist die kleinste Zahl, die als gemeinsamer Nenner für eine Gruppe von Brüchen dient. Er entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner und wird auch der niedrigste gemeinsame Nenner genannt.
Der Nenner ist die untere Zahl in einem Bruch. Sie zeigt, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes geteilt wird. In 3/4 bedeutet der Nenner 4, dass das Ganze in 4 gleiche Teile geteilt wird, und der Zähler 3 zählt, wie viele dieser Teile genommen werden.
Zwei oder mehr Brüche teilen einen gemeinsamen Nenner, wenn ihre unteren Zahlen übereinstimmen. 2/5 und 1/5 teilen den Nenner 5, also werden die Zähler direkt addiert: 2/5 + 1/5 = 3/5. Brüche mit verschiedenen Nennern, wie 1/3 und 1/6, benötigen einen gemeinsamen Nenner, bevor sie addiert werden können.
Der kleinste gemeinsame Nenner ist der kleinste aller möglichen gemeinsamen Nenner für eine Menge von Brüchen. Das Multiplizieren der Nenner ergibt immer einen gemeinsamen Nenner, aber nicht immer den kleinsten. Der KGN hält die resultierenden Zahlen so klein wie möglich, weshalb er auch der niedrigste gemeinsame Nenner genannt wird.
Brüche benötigen übereinstimmende Nenner, bevor sie addiert, subtrahiert oder verglichen werden können. Der KGN erzeugt diese Übereinstimmung mit dem kleinstmöglichen Nenner, was die Zahlen klein und das Ergebnis leichter zu vereinfachen hält.
Das Multiplizieren der Nenner funktioniert immer, erzeugt aber eine größere Zahl als nötig. Für 1/3 und 1/6 ergibt das Multiplizieren der Nenner 18. Der KGN von 3 und 6 ist nur 6. Beide Wege erreichen eine korrekte Summe und beide vereinfachen sich zur gleichen Antwort, aber die KGN-Version tut es mit weniger und kleineren Teilen.
9/18 und 3/6 vereinfachen sich beide zu 1/2 — der KGN erreicht es in einem Schritt weniger.
Drei Methoden finden den kleinsten gemeinsamen Nenner: die Methode der Vielfachenliste, die Primfaktorzerlegung und die Methode des größten gemeinsamen Teilers (ggT). Jede erzeugt dasselbe Ergebnis durch verschiedene Schritte.
| Methode | Am besten verwendet, wenn | Benötigte Schritte |
|---|---|---|
| Vielfachenliste | Die Nenner sind klein, unter etwa 20 | Listen Sie die Vielfachen jedes Nenners auf und finden Sie die erste Übereinstimmung |
| Primfaktorzerlegung | Beliebige Nennergröße oder drei oder mehr Brüche gleichzeitig | Zerlegen Sie jeden Nenner in Primzahlen, nehmen Sie die höchste Potenz jeder, multiplizieren Sie |
| ggT-Methode | Zwei Nenner, deren größter gemeinsamer Teiler leicht zu erkennen ist | Multiplizieren Sie die beiden Nenner, dann teilen Sie durch ihren ggT |
Listen Sie die Vielfachen jedes Nenners auf, bis dieselbe Zahl in beiden Listen erscheint. Diese erste Übereinstimmung ist der KGN. Für 1/3 und 2/7:
Zerlegen Sie jeden Nenner in Primfaktoren, nehmen Sie die höchste Potenz jeder vorkommenden Primzahl und multiplizieren Sie diese Potenzen. Für 3/4, 4/5 und 2/3:
Für 3/8 und 5/12:
Verwenden Sie diesen vierstufigen Prozess, wenn die Eingaben nicht alle einfache Brüche sind.
Acht vollständig gelöste Beispiele behandeln zwei Brüche, drei Brüche und Bruchpaare aus echten Suchanfragen.
Brüche als gleich große Streifen oder als Punkte auf einer Zahlengeraden zu sehen, zeigt, warum ein gemeinsamer Nenner nötig ist, bevor zwei Brüche kombiniert werden können.
Zwei gleich lange Balken, die in Drittel und Viertel geteilt sind, können nicht direkt kombiniert werden, da ein Balken 3 Teile und der andere 4 hat. Beide Balken in 12 gleiche Teile zu teilen, wandelt 1/3 in 4/12 und 1/4 in 3/12 um, sodass beide nun dieselbe Teilgröße verwenden.
Das Eintragen der Vielfachen von 4 und 6 auf derselben Zahlengeraden zeigt, wo sie auf denselben Punkt fallen. Die erste Überschneidung, bei 12, ist der KGN.
Das Auflisten von Vielfachen wird langsam, sobald die Nenner wachsen. Für 5/16 und 7/24 verwenden Sie die kgV-Formel mit dem ggT anstelle einer langen Liste.
Abkürzung: Wenn sich der größere Nenner gleichmäßig durch den kleineren teilen lässt, ist der KGN gleich dem größeren Nenner. Für 3 und 6 gilt 6 ÷ 3 = 2 genau, also ist der KGN 6.
Das kgV ist ein Konzept der Zahlentheorie, das auf beliebige ganze Zahlen angewendet wird. Der KGN ist das kgV, spezifisch auf die Nenner von Brüchen angewendet. Beide Berechnungen ergeben dieselbe Zahl, verwendet in verschiedenen Kontexten.
Gilt für beliebige ganze Zahlen. Verwendet bei der Planung, Fliesenlayouts und Rhythmusproblemen, die eine gemeinsame Zykluslänge benötigen.
Gilt für Bruchnenner. Verwendet zum Addieren, Subtrahieren und Vergleichen von Brüchen, die mit verschiedenen Nennern beginnen.
Der KGN befasst sich mit Vielfachen: Er ist die kleinste Zahl, in die sich beide Nenner teilen lassen. Der ggT befasst sich mit Teilern: Er ist die größte Zahl, die beide Nenner teilt. Sie hängen zusammen: KGN(a,b) = (a × b) ÷ ggT(a,b).
Der KGN ist die Brückenstufe bei drei Bruchoperationen: Addition, Subtraktion und Vergleich. Jede schreibt die Brüche zuerst über den KGN um und arbeitet dann nur mit den Zählern.
1/4 + 1/6 → KGN 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
3/4 − 1/6 → KGN 12 → 9/12 − 2/12 = 7/12
3/4 vs 5/6 → KGN 12 → 9/12 vs 10/12 → 5/6 ist größer
Algebraische Brüche verwenden dieselbe Methode. 1/x + 1/y benötigt einen gemeinsamen Nenner, bevor sich die Zähler verbinden. Wenn x und y keinen gemeinsamen Teiler haben, ist der KGN von x und y xy, also 1/x + 1/y = (y + x)/xy. Dieselbe Regel gilt für rationale Ausdrücke mit polynomiellen Nennern.
Eine Nachschlagetabelle häufig gesuchter KGN-Paare. Verwenden Sie sie als schnelle Referenz. Für ein anderes Paar verwenden Sie den Rechner oben auf dieser Seite.
| Nenner A | Nenner B | KGN |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 6 |
| 2 | 4 | 4 |
| 2 | 5 | 10 |
| 2 | 6 | 6 |
| 3 | 4 | 12 |
| 3 | 5 | 15 |
| 3 | 6 | 6 |
| 3 | 7 | 21 |
| 3 | 8 | 24 |
| 4 | 5 | 20 |
| Nenner A | Nenner B | KGN |
|---|---|---|
| 4 | 6 | 12 |
| 4 | 8 | 8 |
| 4 | 9 | 36 |
| 5 | 6 | 30 |
| 6 | 8 | 24 |
| 6 | 9 | 18 |
| 6 | 10 | 30 |
| 8 | 12 | 24 |
| 9 | 12 | 36 |
| 4 | 10 | 20 |
Der KGN tritt in vier häufigen Situationen außerhalb des Klassenzimmers auf.
Das Anpassen eines Rezepts, das 2/3 Tasse Mehl und 3/4 Tasse Zucker erfordert, benötigt einen gemeinsamen Nenner, bevor die Mengen addiert oder in Portionen geteilt werden können.
Das Ausrichten von Fliesenreihen mit verschiedenen Breiten verwendet den KGN, um den Punkt zu finden, an dem zwei Reihen an derselben Kante beginnen und enden.
Eine 12/8-Taktart stammt vom KGN von 4 und 3, den zwei gängigen metrischen Unterteilungen im afrikanischen Polyrhythmus.
Zwei Mitarbeiter mit verschiedenen Rotationen, einer in einem 3-Tage-Zyklus und einer in einem 4-Tage-Zyklus, kehren nach dem KGN dieser Zyklen zum selben freien Tag zurück: 12 Tage.